kumpulan makalah: GEOMETRI TRANSFORMASI

Tugas Ini Dibuat Untuk Memenuhi Tugas Geometri Transformasi

Yang Dibimbing Oleh Ibu Welas Lsitiani

MAKALAH

GEOMETRI TRANSFORMASI

Pencerminan (Refleksi), Pergeseran (Translasi), Perputaran (Rotasi), dan Perbesaran (Dilatasi)

Disusu oleh kelompok 4 matematika 2012D

Nama anggota kelompok :

1. Armince teresia asa

2. Beni

3. Gilbertus andi parais

4. Maurid boboy

5. Melkianus H.Bora

6. Melkianus Rikson bulu

7. Norbert Bora

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

→( FPIEK )←

FAKULTAS PENDIDIKAN ILMU EKSAKTA dan KEOLAHRAGAAN

IKIP BUDI UTOMO MALNG

NOVEMBER 2013

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas karunia, yang telah dilimpahkan-Nya, sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Makalah ini disusun dengan maksud untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi tentang Refleksi, Translasi, Rotasidan Dilatasi

penulis pun menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih banyak kesalahan disana sini baik dari segi isi penulisan maupun kata-kata yang digunakan yang didasari oleh terbatasnya referensi yang digunakan. Oleh karena itu segala kritik dan saran yang bersifat membangun guna perbaikan makalah ini lebih lanjut akan penulis terima dengan senang hati.

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

B. Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

C. Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

D. Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

BAB II PEMBAHASAN

A. Refleksi (pencerminan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

B. Translasi (pergeseran) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

C. Rotasi (perputaran) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..7

D. Dilatasi (pembesaran) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

B. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

C. Daftar pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar belakang

Belajar matematika merupakan sebuah proses perubahan tingkah laku Individu. Belajar ilmu matematika merupakan hal yang sangat penting dan harus di jalani oleh setiap manusia. Dengan Ilmu Matematika seseorang bisa membedakan mana yang baik dan mana yang buruk, dengan Ilmu Matematika seseorang bisa membedakan mana yang boleh dan mana yang tidak boleh, dan dengan Ilmu Matematika juga seseorag bisa merumuskan tujuan hidup.

Matapelajaran matematika merupakan yang sangat penting, dengan Ilmu Matematika kita mengetahui adanya geometri transformasi yang memuat refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi.

Dimana refleksi adalah pencerminan, yaitu proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu terhadap garis tertentu (sumbu cermin / sumbu simetri). Translasi adalah transformasi yang memindahakan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Rotasi adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu. Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran bangun tetapi tidak mengubah bentuknya.

Maka dari itu kami menulis makalah tentang geometri transformasi yang didalamnya memuat refleksi(pencerminan), translasi (pergeseran), rotasi (perputaran), dan dilatasi (pembesaran).

B. Rumusan masalah

Dalam membuat suatu makalah masalah sangatlah penting karena adanya masalah akan memberikan penuntun bagi pembahasan selanjutnya, untuk menentukan suatu masalah hendaknya memberikan petunjuk tentang pengumpulan data.

Adapun masalah yang akan kami bahas dalam makalah ini adalah tentang Geometri Transformasi yang didalamnya memuat tentang refleksi(pencerminan), translasi(pergeseran), rotasi(perputaran), dan dilatasi(pembesaran).

C. Tujuan

1. Mengetahui apa itu Refleksi

2. Mengetahui apa itu Translasi

3. Mengetahui apa itu Rotasi

4. Mengetahui apa itu Dilatasi

5. Dapat memahami apa yang dimaksud dengan refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi dan dapat menyelesaikan soal-soal yang tentang itu.

D. Manfaat

Adapun manfaat dari makalah ini, tidak lebih hanya untuk mengetahui apa itu refleksi, transformasi, rotasi, dan dilatasi. Yang dapat mempermudah dalam mempelajari Geometri Transformasi tentang refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi tersebut.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi / pencerminan suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu terhadap garis tertentu (sumbu cermin / sumbu simetri).

Macam-macam Refleksi

1) Pencerminan Terhadap Sumbu X

Y C

A B

A’ B’

C’

Misalnya :

A(1,1) ß T à A’(1,-1)

B(5,1) ß T à B’(5,-1)

C(3,4) ß T à C’(3,-4)

P(x,y) ß T à P’(x,-y)

Kesimpulan :

Pencerminan P(x,y) terhadap sumbu x, P(x,y) Û P’(x,-y).

2) Percerminan Terhadap Sumbu Y

C’ Y C

B’ B

A’ A

X 2

Misalnya :

A(2,1) ß T à A’(-2,1)

B(5,2) ß T à B’(-5,2)

C(1,4) ß T à C’(-1,4)

P(x,y) ß T à P’(-x,y)

Kesimpulan :

Pencerminan P(x,y) terhadap sumbu Y, P(x,y) Û P’(-x,y).

3) Pencerminan Terhadap Sumbu Y = X

Y Y = X

B’ C’

A’

A B

0 X

Misalnya :

A(2,1) ß T à A’(1, 2)

B(5,1) ß T à B’(1,5)

C(5,4) ß T à C’(4,5)

P(x,y) ß T à P’(y,x)

Kesimpulan :

Pencerminan P(x,y) terhadap garis Y= X, P(x,y) Û P’(y,x).

4) Pencerminan Terhadap Sumbu Y = -X

Y = -X C B

C’

B’ A’

X 0

Misalnya :

A(-1,4) ß T à A’(-4, 1)

B(-1,6) ß T à B’(-6,1)

C(-5,6) ß T à C’(-6,5)

P(x,y) ß T à P’(-y,x)

Kesimpulan :

Pencerminan P(x,y) terhadap garis Y=-x, P(x,y) Û P’(-y,x).

5) Pencerminan terhadap garis x = h

Y x = h

A A’

0 X

Misalnya :

A(1,5) ß T( x=3) à A’(2.3-1,5)

A’(5, 5)

Kesimpulan :

Pencerminan P(x,y) terhadap garis x=h, P(x,y) Û P’(2h-x, y).

6) Pencerminan Terhadap Garis y = h

Y A’

0 X

Misalnya :

A(6,1) ß T( y=3) à A’(6, 2.3-1)

A’(6, 5)

Kesimpulan :

Pencerminan P(x,y) terhadap garis y=h, P(x,y) Û P’(x, 2h - y).

B. Tranlasi (pergeseran)

P’(x’,y’)

Tranlasi adalah transformasi yang memindahakan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu.

Jika translasi T =

Memetakan titik P(x,y) ke P’(x’,y’)

P(x,y)

Maka x’ = x + a dan y’ = y + b

Ditulis dalam bentuk matrik

atau P(x,y) P’ (x+a, y+b) 5

Contoh

1. Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5). Tentukan koordinat bayangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi oleh

T =

penyelesaian

Y O(0,0) → (0 + 1, 0 + 3)

B 0’(1,3)

A(3,0) → (3 + 1, 0 + 3)

A’(4,3)

B(3,5) → (3 + 1, 5 + 3)

B’(4,8)

O A X

2. Bayangan persamaan lingkaran x² + y² = 25 oleh translasi T = adalah…

Penyelesaian Y

Karena translasi T = maka

P(-1,3)

x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1)

y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2)

(1) dan (2) di substitusi ke x² + y² = 25

diperoleh (x’ + 1)² + (y’ – 3)² = 25; X

Jadi bayangannya adalah: (x + 1)² + (y – 3)² = 25

3. Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5) adalah (7,-8).

Bayangan kurva y = x² + 4x – 12 oleh translasi tersebut adalah….

Penyelesaian

Misalkan translasi tersebut T =

Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T

adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8)

1+ a = 7 → a = 6

-5+ b = -8 → b = -3

a = 6 dan b = -3 sehingga translasi tersebut adalah T =

Karena T =

Maka x’ = x + 6 → x = x’ – 6

y’ = y – 3 → y = y’ + 6 6

x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi ke y = x² + 4x – 12

y’ + 3 = (x’ – 6)² + 4(x’ – 6) – 12

y’ + 3 = (x’)² – 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12

y’ = (x’)² – 8x’ – 3

Jadi bayangannya: y = x² – 8x – 3

C. Rotasi (perputaran)

Rotasi atau perputaran ditentukan oleh pusat dan besar sudut putar.

Rotasi Pusat O(0,0)

P(x’,y’)

Titik P(x,y) dirotasi sebesar a berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0) dan diperoleh bayangan P’(x’,y’)

P(x,y)

maka: x’ = xcosa - ysina

y’ = xsina + ycosa

ü Jika sudut putar a = ½π (rotasinya dilambangkan dengan R_½_π)

maka x’ = - y dan y’ = x

dalam bentuk matriks:

Jadi R_½_π =

Contoh

1. Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran +90^o, adalah….

penyelesaian

R₊₉₀^oberarti: x’ = -y → y = -x’

y’ = x → x = y’

disubstitusi ke: x + y = 6

y’ + (-x’) = 6

y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6

Jadi bayangannya: x – y = -6

2. Persamaan bayangan garis 2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran -90^o, adalah….

Penyelesaian

R_-90^oberarti:

x’ = xcos(-90) – ysin(-90) 7

y’ = xsin(-90) + ycos(-90)

x’ = 0 – y(-1) = y

y’ = x(-1) + 0 = -x’ atau

dengan matriks:

R_-90^oberarti: x’ = y → y = x’

y’ = -x → x = -y’

disubstitusi ke: 2x - y + 6 = 0

2(-y’) - x’ + 6 = 0

-2y’ – x’ + 6 = 0

x’ + 2y’ – 6 = 0

Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0

ü Jika sudut putar a = π (rotasinya dilambangkan dengan H)

maka x’ = - x dan y’ = -y

dalam bentuk matriks:

Jadi H =

Contoh

Persamaan bayangan parabola y = 3x² – 6x + 1 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran +180^o, adalah….

Penyelesaian

Hberarti: x’ = -x → x = -x’

y’ = -y → y = -y’

disubstitusi ke: y = 3x² – 6x + 1

-y’= 3(-x’)² – 6(-x’) + 1

-y’ = 3(x’)² + 6x + 1 (dikali -1)

Jadi bayangannya:

y = -3x² – 6x – 1

D. Dilatasi (perbesaran)

Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya. 8

ü Dilatasi Pusat O(0,0) dan faktor skala k

Jika titik P(x,y) didilatasi terhadap pusat O(0,0) dan faktor skala k didapat bayangan P’(x’,y’) maka x’ = kx dan y’ = ky dan dilambangkan dengan [O,k] atau,

Contoh

Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A dan memotong sumbu Y di B. Karena dilatasi [O,-2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’.

Hitunglah luas segitiga OA’B’

Penyelesaian

garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A(3,0) memotong sumbu Y di B(0,2) karena dilatasi [O,-2] maka A’(kx,ky)→ A’(-6,0) dan B’(kx,ky) → B’(0,-4)

Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga

seperti pada gambar: Y

B -4 Sehingga luasnya

= ½ x OA’ x OB’

= ½ x 6 x 4

A = 12

-6 O X

ü Dilatasi Pusat P(a,b) dan faktor skala k bayangannya adalah x’ = k(x – a) + a dan y’ = k(y – b) + b dilambangkan dengan [P_(a_,b) ,k]

Contoh

Titik A(-5,13) didilatasikan oleh [P,⅔] menghasilkan A’.

Jika koordinat titik P(1,-2),maka koordinat titik A’ adalah….

Penyelesaian

A(x,y) A’(x’,y’)

x’ = k (x-a)+a , y’ = k (y-b)+b

A(-5,13) A’(x,y)

Jadi koordinat titik A’(-3,8)

x’ = ⅔(-5 – 1) + 1 = -3

y’= ⅔(13 – (-2)) + (-2) = 8 9

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Adapun secara ringkas kesimpulan materi tentang transformasi geometri sebagai berikut :

a. Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang memidahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu.

b. Refleksi (pencerminan) adalah translasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan sifat pencerminan.

c. Rotasi (perputaran) adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu.

d. Dilatasi (perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran bangun, tetapi tidak mengubah ukuran bentuknya.

B. Saran

Makalah ini dapat digunakan sebagai bahan untuk belajar geometri transformasi dimana dalam makalah ini membahas geomatri transformasi secara detail yang memuat refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi.