SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

SISTEM PERSAMAAN LINEAR dan MATRIKS

PENDAHULUAN

PadaModul ini akan dibahas materi yang berkaitan dengan sistem persamaan linear atau biasa disingkat dengan sistem linear dan penyelesaian dari sistem tersebut.Kemudian akan dibahas atau dikenalkan beberapa metode penyelesaiannya dan himpunan penyelesaiannya.

TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM

Mahasiswa menguasai atau memahami suatu teknik dasar aljabar linear dan mampu menggunakannya untuk menyelesaikan SPL.

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Mahasiswa dapat mengetahui bentuk SPL dan cara menyelesaikannya, begitu juga matriks dan operasinya, secara khusus diharapkan :

1.      Memahami pengertian persamaan linear

2.      Memahami sistem persamaan linear (SPL)

3.      Menyelesaikan SPL dengan berbagai cara

1.      PENGANTAR  SPL dan MATRIKS

Persamaan linear adalah persaman yang tidak mengandung atau melibatkan hasil kali atau akar variabel, semua variabel mempunyai pangkat satu dan tidak sebagai variabel bebas dari fungsi trigonometri, logaritma atau eksponen.

C O N TO H  1.1 Beberapa persamaan linear, yaitu ;

                           (1.1)

          (1.2)

          (1.3)

Persamaan 1.1 yaitu persamaan linear dengan variabel x dan y, dengan koefisien 2 dan 3 yang merupakan persamaan garis. Persamaan 1.2 yaitu persamaan linear dengan variabel ,  dan , dengan koefisien 4, 3 dan 2 yang merupakan persamaan bidang. Sedangkan Persamaan 1.3 yaitu persamaan linear dengan variabel  dan koefisien  dan b dengan

C O N TO H 1 . 2 Beberapa persamaan tak linear, yaitu;

                  (1.4)

          (1.5)

          (1.6)

Persamaan 1.4 bukan persamaan linear, karena variabel x mempunyai pangkat dua. Persamaan 1.5 bukan persamaan linear, karena terdapat perkalian dua variabel yaitu  dan  mempunyai pangkat dua, begitu juga Persamaan 1.6.

Penyelesaian dari persamaan linear adalah pemberian nilai pada variabel yang ada sedemikian hingga persamaan itu benar. Misal Persamaan 1.1, jika variabel x diberi nilai 0, maka variabel y harus bernilai 2, atau beri nilai sebarang pada x, maka nilai y dapat ditentukan kemudian, nilai sebarang itu misalnya t, sehingga;

,

Begitu juga untuk persamaan 1.2

 , ,

atau dengan pemberian nilai yang lain, misal

 

Begitu juga untuk persamaan 1.2

 , ,

Sedangkan Persamaan 1.3 akan terpenuhi jika variabel dimana  diberi nilai yang sesuai sehingga persamaan linear tersebut memenuhi, misal maka penyelesaian persamaan linear tersebut adalah pasangan terurut (s1, s2, s3, , sn). Karena penyelesaian dari persamaan tersebut tidak hanya satu, maka semua penyelesaian dari persamaan terhimpunan dalam himpunan penyelesaian. Persamaan linear yang lebih dari satu (terhingga) dan variabelnya saling terkait, himpunan persamaan tersebut dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear.

CONTOH 1.3 Sistem linear yang terdiri dari dua persamaan dengan tiga variabel,

Salah satu penyelesaian dari sistem linear tersebut adalah dan ,

karena nilai tersebut memenuhi kedua persamaan, sedangkan penyelesaian yang lain,  dan  bukan penyelesaian dari sistem tersebut, sebab nilai tersebut memenuhi persamaan yang kedua, tetapi tidak memenuhi persamaan pertama.

CONTOH 1.1.4 Sistem linear yang terdiri dari dua persamaan dengan dua variabel,

Hanya satu penyelesaian dari sistem linear tersebut,  dan , karena tidak ditemukan penyelesaian yang lain.

CONTOH 1.5 Sistem linear yang terdiri dari dua persamaan dengan dua variabel,

Sistem linear tersebut tidak konsisten, karena jika persamaan pertama dikalikan dengan tiga, kedua persamaan tersebut tidak konsisten, sehingga sistem linear tersebut tidak mempunyai penyelesaian. Secara umum, ada tiga kemungkinan penyelesaian dari sistem persamaan linear, yang dapat diilustrasikan sebagai dua persamaan garis, yaitu;

 y                                 y                                              y

                l                                 k                                         k

                                                   l                                                   l

                k

x                                  x                                              x

            (a)                                (b)                                            (c)

Gambar 1.1 Tiga Macam Penyelesaian Sistem Linear

1)      Sistem linear mempunyai satu penyelesaian, jika dua garis tersebut berpotongan pada satu titik. Lihat Gambar 1.1(a)

2)      Sistem linear mempunyai banyak penyelesaian, jika dua garis tersebut berimpit. Lihat Gambar 1.1(b)

3)      Sistem linear tidak mempunyai penyelesaian, jika dua garis tersebut sejajar. Lihat Gambar 1.1(c)

Sebarang sistem persamaan linear dengan persamaan dan variabel dapat ditulis sebagai berikut:

                                                           +            +   +            =   

dengan adalah variabel dan a dan  adalah koefisien konstanta dengan  dan

dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu;

dan dapat ditulis dalam bentuk singkat, yaitu;

Pada proses pencarian penyelesaian dari sistem linear tersebut, biasanya tanda  dan  dihilangkan sehingga terbentuk suatu matriks yan glebih singkat yang dinamakan matriks diperbesar (augmented matrix), yaitu matriks  dan mariks digabung jadi satu kesatuan matriks, hasilnya;

2.      PENYELESAIAN SPL dan MATRIKS

Untuk mencari penyelesaian umum atau himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear, ada beberapa cara yang sederhana adalah substitusi (seperti di SMU). Se- belum mencari penyelesaian dari sistem persamaan linear, perhatikan terlebih dahulu met- ode dasar atau elementer yang mirip dengan metode substitusi yaitu operasi baris elementer yang lebih dikenal dengan sebutan OBE. Pada metode substitusi, langkah untuk menghilangkan sebuah variabel dapat dilakukan dengan tiga langkah, yaitu;

1)      Mengalikan persamaan dengan sebuah konstanta tak-nol

2)      Tukarkan dua persamaan

3)      Tambahkan perkalian dari persamaan ke persamaan yang lain

Sedangkan pada metode operasi baris elementer, langkah untuk menghilangkan sebuah konstanta pada kolom tertentu dapat dilakukan dengan tiga langkah, yaitu;

1)      Mengalikan baris dengan sebuah konstanta tak-nol

2)      Tukarkan dua baris

3)      Tambahkan perkalian dari baris ke baris yang lain

CONTOH 2.1 Pandang sistem persamaan linear berikut ini

          (1.7)

         (1.8)

Untuk menyelesaikan dengan metode substitusi, lakukan langkah pertama, yaitu:

Kalikan Persamaan  dengan , sehingga menjadi

kemudian kurangkan Persamaan  dengan Persamaan , maka Persamaan  menjadi

 dan  maka

Tetapi, jika menggunakan metode OBE, buatlah matriks diperbesar dari sistem persamaan linear tersebut, kemudian lakukan OBE dengan perintah, kurangi baris kedua dengan dua kali baris pertama, dilanjutkan kurangi baris satu dengan dua kali baris kedua sehingga menjadi;

  =   

kembalikan ke bentuk sistem persamaan linear, sehingga  dan

2.1  Baris Eselon Tereduksi

Telah dipelajari langkah-langkah OBE, seperti pada Contoh 2.1. Pada bagian ini akan ditunjukkan bentuk dari suatu matriks yang mempunyai sifat baris eselon dan baris eselon tereduksi adalah sebagai berikut:

a)      Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka tak-nol pertama dalam baris tersebut adalah satu yang disebut dengan utama-1

b)      Jika ada baris terdiri dari nol semua, maka pindahkan ke bagian bawah matriks

c)      Jika ada dua baris yang beurutan yang tidak seluruhnya nol, utama-1 pada baris yang lebih bawah terletak disebelah kanan utama-1 dari baris atasnya

d)     Setiap kolom yang berisi utama-1 mempunyai nol di baris yang lainnya

Jika suatu matriks mempunyai sifat , maka matriks tersebut disebut matriks bentuk baris eselon, sedangkan matriks yang mempunyai ke-empat sifat tersebut dinamakan matriks bentuk baris eselon tereduksi.

CONTOH 2.2 Matriks-matriks dalam bentuk baris eselon, seperti dibawah ini

Sedangkan matriks-matiks dalam bentuk baris eselon tereduksi adalah

Cara mengubah matriks menjadi matriks eselon baris tereduksi;

a)      Kalikan dengan sebuah konstanta tak nol,

b)      Pertukarkan sembarang 2 baris,

c)      Tambahkan perkalian suatu baris dengan baris yang lain.

2.2  Metode Eliminasi Gauss

Metode eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan menggunakan OBE, sedemikian hingga matriksnya mempunyai bentuk baris eselon. Setelah terbentuk baris eselon, kembalikan matriks tersebut dalam bentuk sistem linear dan kemudian lakukan substitusi balik mulai dari bawah.

C O N TO H  2.3 Selesaikan sistem persamaan linear dibawah ini dengan menggnakan metode eliminasi Gauss

Jawab:

Ubahlah sistem linear ke bentuk matriks diperbesar

kemudian lakukan OBE, sedemikian hingga matriksnya menjadi bentuk baris eselon, seperti berikut;

Ubah kembali kesistem linear menjadi;

Lakukan substitusi balik, yaitu;

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah dan

2.3  Metode Eliminasi Gauss – Jordan

Metode eliminasi Gauss-Jordan adalah suatu metode untuk mencari himpunan penyelesaian dari  sistem persamaan  linear dengan menggunakan OBE,  sedemikian hingga matriksnya mempunyai bentuk baris eselon  tereduksi.  Setelah  terbentuk baris eselon  tereduksi, kembalikan matriks tersebut dalam bentuk sistem linear dan ditemukan kemudian lakukan substitusi balik mulai dari bawah.

Dengan Contoh 2.3, lanjutkan OBEnya sedemikian hingga matriksnya berbentuk baris eselon tereduksi, yaitu;

kembalikan ke bentuk sistem linear, yaitu;

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah dan

CONTOH  2.4  Carilah penyelesaian dari sistem linear homogen berikut

Jawab:

Ubah  sistem  linear dalam bentuk matriks,  kemudian  lakukan OBE  sehingga menjadi matriks dalam bentuk eselon tereduksi, seperti

kembalikan ke sistem linear, sehingga didapat

Jadi penyelesaiannya adalah

3.     SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN

4.     MATRIKS dan OPERASINYA

Pada bagian ini akan dibahas tentang definisi matriks, operasi yang berlaku dan beberapa sifat matriks, dalam hal ini elemen dari matriks dibatasi pada bilangan real saja. Perhatikan definisi dibawah ini,

,  Matriks  adalah  susunan  bilangan  berbentuk  segiempat.  Bilangan-bilangan dalam susunan itu dinamakan anggota matriks tersebut.

CONTOH    Beberapa contoh matriks

Ukuran matriks ditunjukan dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom, seperti pada Contoh  secara berurutan, ukuran matriks pertama adalah , karena matriks terdiri dari tiga baris dan dua kolom.  Begitu juga matriks selanjutnya mempunyai ukuran , matriks yang ketiga  juga dinamakan dengan matriks baris atau vektor baris karena hanya terdiri dari sebuah baris saja dan yang  terakhir adalah matriks kolom atau vektor kolom, karena hanya terdiri dari sebuah kolom saja. Keduanya, vektor kolom dan vektor baris dilambang dengan sebuah huruf kecil tebal atau huruf kecil diberi garis atasnya. Secara umum notasi  untuk  sebauh matriks menggunakan  huruf  besar,  sedangkan  anggota  dari matriks biasanya menggunakan huruf kecil.

CONTOH    Matriks A mempunyai ukuran , maka matriks  tersebut dapat ditulis

jika diinginkan untuk menyebut sebuah anggota matriks pada baris  dan kolom , yaitu;                                       

Perhatikan beberapa definisi dibawah ini:

  Dua matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut mempunyai

ukuran yang sama dan anggota yang berpadanan juga sama.

Jika ada dua matriks  dan  dikatakan sama, maka berlaku  . Perhatikan contoh dibawah ini.

CONTOH 3.3  Pandang tiga matriks

Jika matriks , maka nilai  pada  harus sama dengan  Matriks  tidak sama dengan matriks ,  karena  kedua matriks  tersebut  tidak mempunyai  ukuran  yang  sama.

  Jika dua matriks  dan mempunyai ukuran yang sama, maka kedua matriks tersebut dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Untuk menambahkan atau mengurangkan  kedua matriks  tersebut  anggota  yang  berpadanan  dijumlahkan  atau dikurangkan. Matriks yang  tidak mempunyai ukuran yang  sama  tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Dua matriks  dan  dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika kedua matriks tersebut mempunyai ukuran yang sama, hasil penjumlahannya atau pengurangannya adalah

CONTOH 3.4  Pandang tiga matriks

Maka hasil penjumlahan dan pengurangan matriks  dan , adalah

Bagaimana kalau , tidak dapat dilakukan karena ukuran kedua matriks tersebut tidak sama.

  Jika  sebarang matriks dan  sebarang skalar , maka hasil kali skalar dan matriks  adalah mengalikan semua anggota  dengan skalar .

CONTOH   Jika matriks A pada Contoh  dikalikan dengan , maka hasilnya adalah

Begitu juga jika matriks  dikalikan dengan , hasilnya

,  Dua matriks dan  dapat dikalikan, jika matriks mempunyai , dan matriks  harus mempunyai ukuran  maka matriks hasil-kalinya mempunyai ukuran   dengan anggota   berasal dari perkalian  baris dari matriks

dengan kolom  dari matriks

CONTOH   Matriks  dan  pada Contoh  dapat dikalikan,  karena ukuran matriks  adalah  dan matriks  berukuran sehingga kedua matriks  tersebut dapat dikalikan dan hasilnya adalah

Dengan cara yang sama, jika matriks  dikalikan dengan matriks , hasilnya

Sedangkan matriks  tidak dapat dikalikan dengan matiks ,  karena ukuran matriksnya tidak sesuai dengan definisi yang ada.

,  Matriks transpose dari matriks  ditulis  yang anggotanya merupakan anggota  dengan mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.

CONTOH    Transpose ketiga matriks pada Contoh  adalah

  Jika  matriks   persegi,  maka  trace   dinyatakan  dengan  , didefinisikan sebagai jumlah anggota-anggota pada diagonal utama matriks .

CONTOH    Dengan menggunakan matriks pada Contoh , maka;

Sedangkan trace dari matriks  tidak dapat dicari, karena matriks  bukan matriks persegi.

5.     ATUTRAN-ATURAN ILMU HITUNG MATRIKS

6.     MATRIKS ELEMENTER dan METODE UNTUK MENCARI

7.     HASIL SELANJUTNYA MENGENAI SISTEM PERSAMAAN dan KETERBALIKAN